Komplexe Zahlen

Der Umgang mit komplexen Zahlen ist bereits seit dem 17. Jahrhundert bekannt, seitdem aber etwas in Vergessenheit geraten und wird an den Gymnasien eher selten thematisiert.

Zunächst wendete man die Rechenregeln der reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen an, ohne sich darüber Gedanken zu machen, warum Regeln, die für eindimensionale Zahlen entwickelt wurden auch für zweidimensionale Zahlen gelten.

Man fragte sich nun, ob es nicht auch noch höherdimensionale Zahlen geben könnte.

Diese Frage konnte erst durch David Hilbert (1862-1943), einem der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit, negativ beantwortet werden.

Über dem System der reellen Zahlen liegt nur noch das System der komplexen Zahlen mit den gleichen Operationen. 

Dieses System ist nach Hilbert abgeschlossen:

Für eine quadratische Gleichung der Form "ax² +bx +c = 0" erhält man nur dann eine reelle Lösung, wenn in in der sogenannten Mitternachtsformel die Diskriminante nicht negativ ist.

(also b² - 4ac ≥ 0)

Es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.

Seit Mitte des 17. Jahrhunderts wird folgende symbolische Schreibweise benutzt, um eine Zahl darzustellen, deren Quadrat negativ ist:

Man benutzt also "i" als eine neue Zahl mit der folgenden Eigenschaft:

Beispiel:

x² - 2x + 10 = 0

für x₁ = 1+3i gilt: (1 + 3i)² - 2(1 + 3i) + 10 = 1 + 6i - 9 - 2 - 6i + 10 = 0
für x₂ = 1-3i gilt : (1 - 3i)² - 2(1 - 3i) + 10 = 1 - 6i - 9 - 2 + 6i + 10 = 0

Man nennt eine Zahl der folgenden Form eine komplexe Zahl:
z = a + bi | a,b ∈ ℝ

Für a ≠ 0, b ≠ 0 ist z=a reell, für a = 0, b ≠ 0 heißt z = bi (rein) imaginär.

Schreibweisen
a = Re (z) = Realteil von z
b = Im (z) = Imaginärteil von z

Es liegt nahe, die beiden reellen Zahlen a,b einer komplexen Zahl z=a+bi als Zahlenpaar (a,b) zu schreiben und diese als Vektor bzw. Punkt einer Ebene aufzufassen. Es entsteht dadurch eine Zahlenebene.

Zu dieser Idee gelangte Carl Friedrich Gauß (1777-1855) noch bevor Vektoren erfunden wurden.
Senkrecht zur Zahlenebene x wird eine imaginäre Achse y mit der Einheit i angeordnet.
Somit konnte jeder komplexen Zahl z=a+bi = (a,b) umkehrbar eindeutig (eineindeutig) ein Punkt (a,b) in der Zahlenebene zugeordnet werden.
Diese Zahlenebene wird "Gaußsche Zahlenebene" genannt.

Zur x-Achse symmetrische Lösungen, wie im obigen Beispiel x₁ und x₂, werden konjugiert Komplex genannt.

Die Eulersche Formel stellt eine Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen her.

Die Schlichtheit dieser Formel und die Tatsache, dass die Grundrechenarten, die Exponentialfunktion, die Kreiszahl pi, die Eulersche Zahl e, sowie die Zahlen 0 und 1 Bestandteil der Formel sind, kann einen nur in Erstaunen versetzen. Es ist wohl die schönste Formel der Mathematik.