IFS - Iterierte Funktionensysteme

Mittels Iterierter Funktionensysteme (IFS) kann man mit wenigen Regeln komplexe und natürlich aussehende Formen erzeugen.

Dabei werden auf Punkte in der mathematischen Ebene R² wiederholt (Iteration) linear affine Transformationen angewendet.

Man könnte dies auch mit Papier und Bleistift per Hand zeichnen. Es würde allerdings sehr lange dauern. Schneller geht es mit der Rechenleistung moderner Computer, die problemlos Millionen Rechenanwendungen iterativ anwenden können und so schlußendlich ein Bild der Natur liefern können.

Von Natur aus fraktal - Iterierte Funktionssysteme

Barnsley Farn
Barnsley Farn

Fraktale sind überall in der Natur zu finden - wenn man die Natur nur genau betrachtet.

Der Vorteil der fraktalen Geometrie ist, dass mit einer geringen Informationsmenge sehr komplexe und variantenreiche Strukturen definiert werden können.

 

Fraktale vom Typ IFS (Iterierte Funktionensysteme) werden durch die iterierte Anwendung von Funktionen erstellt, die nach dem Zufallsprinzip ausgewählt werden, wobei immer wieder von einem Ausgangspunkt ausgegangen wird.


Mittels affiner Transformationen kann man z. B. einen Farn auf einfache Weise mathematisch beschreiben:

 

Xn+1 = aiXn + biYn + ei

Yn+1 = ciXn + diYn + fi

      


Vorgehensweise zum Zeichnen eines IFS-Fraktals

  1. Man wähle einen beliebigen Startpunkt (X0 | Y0)
  2. Wahl der Paramter nach der entsprechenden Wahrscheinlichkeit
  3. Berechnung der Abbildung (X1 | Y1)
  4. Fortführung der Iteration mit dem neuen Punkt (X1 | Y1)

Matrix für "Barnsley-Farn" und IFS-Fraktal-Baum

Barnsley Farn
Barnsley Farn
IFS Fraktal - Baum
IFS Fraktal - Baum

Matrix des Barnsley Farns

i a b c
 		d
 		e
 		f
 		p
1 0 0 0 0,16 0 0 0,01
2 0,20 -0,26 0,23 0,22 0 1,60 0,07
3 -0,15 0,28 0,26 0,24 0 0,44 0,07
4 0,85 0,04 -0,04 0,85 0 1,60 0,85

Matrix des IFS Fraktal - Baums

i a b c
 		d
 		e
 		f
 		p
1 0,200 -0,500 0,340 0,400 0,440 0,250 0,200
2 0,460 0,410 -0,250 0,360 0,250
 0,570 0,200
3 -0,060 -0,070 0,450 -0,110 0,600
 0,097 0,200
4 -0,350 0,070 -0,470 -0,020 0,490 0,500 0,200
5 -0,640 0,000 0,000 0,500 0,860 0,250 0,200